Question

如图，BD是⊙O的直径， A、C是⊙O上的两点，且AB=AC，AD与BC的延长线交于点E.

（1）求证：△ABD∽△AEB；

（2）若AD=1，DE=3，求BD的长.

Answer

（1）证明：∵AB=AC，

∴.

∴∠ABC=∠ADB.                  

又∠BAE=∠DAB，

∴ △ABD∽△AEB.       

（2）【解析】
∵△ABD∽△AEB，

∴.

∵ AD=1， DE=3，

∴AE=4.   

∴ AB2=AD·AE=1×4=4.

∴ AB="2."

∵ BD是⊙O的直径，

∴∠DAB=90°.

在Rt△ABD中，BD2=AB2＋AD2=22＋12=5，

∴BD=.

【解析】（1）结合已知条件就可以推出∠ABC=∠ADB，再加上公共角就可以推出结论；

（2）由（1）的结论就可以推出AB的长度，规矩勾股定理即可推出BD的长度．