Question

两个大小相同且含角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使直角顶点重合. 将图①中△DEC绕点C逆时针旋转得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点.

（1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF全等的三角形；

（2）将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转得△D₁E₁C，点F、G、H的对应点分别为F₁、G₁、H₁，如图③.探究线段D₁F₁与AH₁之间的数量关系，并写出推理过程；

（3）在（2）的条件下，若D₁E₁与CE交于点I，求证：G₁I =CI.

Answer

（1）图②中与△BCF全等的有△GDF、 △GAH 、△ECH．

（2）= 

证明：∵∴△AF1C ≌△D1H1C.

∴ F1C= H1C， 又CD1=CA，

∴CD1- F1C ="CA-" H1C.即

（3）连结CG1.

在△D1G1F1和△AG1H1中，

∵，∴△D1G1F1≌△AG1H1.

∴G1F1=G1H1

又∵H1C=F1C，G1C=G1C，∴△CG1F1≌△CG1H1.

∴∠1=∠2.  

∵∠B=60°，∠BCF="30°" ，∴∠BFC=90°.                        

又∵∠DCE=90°，∴∠BFC=∠DCE，                                   

∴BA∥CE， ∴∠1=∠3，   ∴∠2=∠3，

∴G1I="CI"

【解析】（1）观察图形，根据全等三角形的判定定理，即可得与△BCF全等的有△GDF、△GAH、△ECH；

（2）利用SAS即可判定△AF1C≌△D1H1C，则可得对应线段相等，即可求得D1F1=AH1；

（3）首先连接CG1，利用AAS即可证得△D1G1F1≌△AG1H1．然后可证得△CG1F1≌△CG1H1．又由平行线的性

质即可求得答案．