Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，，交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．

（1）证明：；

（2）当时，求EF的长．

Answer

（1）见解析（2）5

【解析】【解析】
（1）过D作DG⊥BC于G．

由已知可得，四边形ABGD为正方形． …………１分

 ∵DE⊥DC，

∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，

∴∠ADE=∠GDC ．       ………………………3分

又∵∠A=∠DGC，且AD=GD，

∴△ADE≌△GDC ．

∴DE=DC，且AE=GC．      ……………………4分

在△EDF和△CDF中，

∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF为公共边，

∴△EDF≌△CDF．

∴EF=CF ．  ……………………………………………6分

（2）∵tan∠ADE==， ∴．  ………………………………………9分

设，则，BE=6－2=4.

由勾股定理，得 ．

解之，得 ， 即．  ……………………………12分

（1）作DG⊥BC，由已知可得，四边形ABGD为正方形，先证得△ADE≌△GDC，得到DE=DC，再有∠EDF=∠CDF，DF为公共边，可得△EDF≌△CDF，从而EF=CF．

（2）由=，可得，再由勾股定理即可求出EF的长。