Question

如图，在平面直角坐标系中，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线.所得抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为.

    （1）写出的值；

    （2）判断的形状，并说明理由；

（3）在线段上是否存在点，使∽？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer

（1）（2）直角三角形，理由见解析（3）存在，

【解析】【解析】
（1）的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），

  ∴ .   …………………………………………２分

 （2）由（1）得.

  当时，． 解之，得 ．

 ∴ .

  又当时，，

∴C点坐标为.………………………………4分

又抛物线顶点坐标，作抛物线的对称轴交轴于点E， 轴于点．易知

在中，；

在中，；

在中，；

∴ ．

∴ △ACD是直角三角形．…………………………６分

(2)存在．作OM∥BC交AC于M，Ｍ点即为所求点．

由（2）知，为等腰直角三角形，，．

由，得．

即. …………………………9分

过点作于点，则

，.

又点M在第三象限，所以.  …………………………12分

(1)由抛物线的顶点坐标特征可以求得的值；

(2)先由抛物线函数关系式求得点A、C、D的坐标，再根据勾股定理可以求出AC、AD、CD的长，因为，所以△ACD是直角三角形．

(3)由，根据对应边成比例可求出AM的长，过点作于点，根据勾股定理可求出AG、MG的长，再求得OG的长，从而得到点的坐标。