Question

如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E. ⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD=   .

（1）求证：CD∥BF；

（2）求⊙O的半径；

（3）求弦CD的长.

Answer

（1）见解析（2）2（3）

【解析】【解析】
（1）∵BF是⊙O的切线  ∴AB⊥BF   …………………1分

               ∵AB⊥CD    

∴CD∥BF………………………………………………2分

          （2）连结BD

               ∵AB是直径   ∴∠ADB=90°  ………………………………………3分

               ∵∠BCD=∠BAD  cos∠BCD=…………………4分

               ∴cos∠BAD=

             又∵AD=3       ∴AB=4

               ∴⊙O的半径为2  ……………………………………5分

（3）∵cos∠DAE=     AD=3∴AE=  …………………………6分

               ∴ED=  ……………………………………………7分

               ∴CD=2ED= ………………………………………………………8分

（1）由平行公理可得

（2）连结BD，利用三角函数求得通过已知，即可求得⊙O的半径

（3）利用三角函数求得AE的长，通过勾股定理求得ED的长，从而求得弦CD的长