Question

如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合)，连结BP. 将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A₁B₁P,连结AA₁，射线AA₁分别交射线PB、射线B₁B于点E、F.

      （1） 如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在       关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；

（2）如图2，设∠ABP=β . 当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合. 已知AB=4，设DP=x，△A₁BB₁的面

积为S，求S关于x的函数关系式.

Answer

（1） 相似。理由见解析（2）存在，α=2β+60°（3）

【解析】解: （1） 相似   …………………………………………………………1分

由题意得：∠APA1=∠BPB1=α   AP= A1P  BP=B1P

               则  ∠PAA1 =∠PBB1 = ……………………………2分

                 ∵∠PBB1 =∠EBF        ∴∠PAE=∠EBF

     又∵∠BEF=∠AEP

∴△BEF ∽△AEP………………………………………………………3分

（2）存在，理由如下： ………………………………………………………4分

易得：△BEF ∽△AEP

若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即可 …………………5分

∴∠BAE=∠ABE

         ∵∠BAC=60°       ∴∠BAE=

∵∠ABE=β   ∠BAE=∠ABE     ………………………………6分

∴ 即α=2β+60°     ………………………………7分

（3）连结BD，交A1B1于点G，

过点A1作A1H⊥AC于点H.

∵∠B1 A1P=∠A1PA=60° ∴A1B1∥AC

             由题意得：AP= A1 P   ∠A=60°

             ∴△PAA1是等边三角形

∴A1H= ………………………8分

在Rt△ABD中，BD=

             ∴BG=……………………………… 9分

∴ （0≤x＜2）………………10分

（1）通过三角形的相似性求证

（2）由（1）得△BEF ∽△AEP，若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE，即∠BAE=∠ABE，求得∠BAE的度数的表示，即可求出α与β之间的数量关系

（3）连结BD，交A1B1于点G，过点A1作A1H⊥AC于点H. 由已知求得△PAA1是等边三角形，在Rt△ABD中，求得BG的长，从而通过三角形的面积，即可求得S关于x的函数关系式