Question

已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x=4. 设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B.

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

（2）如图1，在直线 y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N. 将△PMN沿直线MN对折，得到△P₁MN. 在动点M的运动过程中，设△P₁MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒. 求S关于t的函数关系式.

Answer

（1）y= x2－8x+12，（4，－4）（2）当D(，)时，四边形OPBD为等腰梯形（3）S=－t2+12t－12

【解析】【解析】
（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c

            由题意得    解得

           ∴二次函数的解析式为y= x2－8x+12  ……………………………………2分

            点P的坐标为（4，－4） ………………………………………………3分

（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形. 理由如下：

当y=0时，x2-8x+12=0   ∴x1=2 ， x2=6

∴点B的坐标为（6，0）

设直线BP的解析式为y=kx+m

     则       解得

              ∴直线BP的解析式为y=2x－12

         ∴直线OD∥BP………………………………………4分

     ∵顶点坐标P（4， －4）     ∴ OP=4

         设D(x，2x)    则BD2=（2x）2+(6－x)2

             当BD=OP时，（2x）2+(6－x)2=32

         解得：x1=，x 2=2…………………………………………………………………6分

         当x2=2时，OD=BP=，四边形OPBD为平行四边形，舍去

         ∴当x=时四边形OPBD为等腰梯形 …………………7分

         ∴当D(，)时，四边形OPBD为等腰梯形  ………8分

（3）① 当0＜t≤2时，

∵运动速度为每秒个单位长度，运动时间为t秒，

则MP=t    ∴PH=t，MH=t，HN=t   ∴MN=t

∴S=t·t·=t2   ……………………10分

        ② 当2＜t＜4时，P1G=2t－4，P1H=t

            ∵MN∥OB    ∴ ∽

∴     ∴

            ∴ =3t2－12t+12

∴S=t2－(3t2－12t+12)= －t2+12t－12

∴  当0＜t≤2时，S=t2

                  当2＜t＜4时，S=－t2+12t－12 ……………12分

（1）抛物线与x轴的另一交点坐标为（6,0），设解析式为y=a(x-2)(x-6),将C（0,12）代入得12=a(0-2)(0-6),得a=1,则抛物线解析式为y=x2-8x+12,顶点P为（4，-4）

（2）因为直线y=2x与PB平行，则OP=BD时四边形OPBD为等腰梯形，设D(m,2m)则有OP2=BD2，(m-6)2+(2m)2=42+42，即5m2-12m+4=0,解得m1=2/5,m2=2(此时为平行四边形舍去)，所以直线y=2x上存在D点符合题意，此时有D(2/5,4/5)

（3）根据t运动时间不同，分两种情况讨论，分别求出S关于t的函数关系式