Question

已知抛物线过点（8，0），

(1)求的值；

(2)如图，在抛物线内作矩形ABCD，使点C、D落在抛物线上，点A、B落在轴上，设矩形ABCD的周长为L，求L的最大值；

(3)如图，抛物线的顶点为E，对称轴与直线交于点F．将直线EF向右平移个单位后（＞0），交直线于点M，交抛物线于点N，若以E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求的值．

Answer

【解析】
（1）=4  

（2）抛物线=  

设A点横坐标为，则AB=8-2，D（，）

∴矩形ABCD的周长=2(AD+AB）=2（8-2）= 

∵=－1＜0，  ∴当=2，矩形ABCD的周长的最大值为20

(3) 直线EF向右平移个单位（＞0）使得E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直线MN的解析式为，直线MN与直线交于点M（4，--3），     

又∵E（4，8），F（4，－3），∴E通过向下平移11个单位得到F．

∵E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形，

∴四边形FEMN是平行四边形或四边形EFNM是平行四边形．

①当四边形EFMN是平行四边形，∴M向下平移11个单位得N，

∴N坐标为（4，--14）， 

又N在抛物线 上，∴， 

解得,（不合题意，舍去）   

②当四边形EFNM是平行四边形，∴M向上平移11个单位得N，  

∴N坐标为（4，-+8），

又N在抛物线 上，∴，  

解得,（不合题意，舍去）   

∴的值为2,

【解析】（1）根据抛物线过点（8，0），直接代入求出m即可；

（2）利用配方法求出二次函数的顶点坐标，进而得出A点坐标，以及D点坐标，再利用二次函数的最值

求出即可；

（3）根据①当四边形EFMN是平行四边形以及②当四边形EFNM是平行四边形分别求出即可．