Question

如图，在直角坐标系中，点的坐标为，点在直线上运动，点、、分别为、、的中点，其中是大于零的常数.

（1）请判断四边形的形状，并证明你的结论；

（2）试求四边形的面积与的关系式；

（3）设直线与轴交于点，问：四边形能不能是矩形？若能，求出的值；若不能，说明理由.

Answer

【解析】
（1）四边形是平行四边形.  

证明：∵、分别是、的中点

∴∥                        

同理，∥

∴四边形是平行四边形   

（2）解法一：    

由（1）得：∥ 

∴∽

∴   ∴

同理     

∴， 即 

解法二：连结，

=  

∵、分别是、的中点

∴        

同理                  

∴， 即

（3）解法一：以为圆心，长为直径的圆记为⊙，

① 当直线与⊙相切或相交时，若点是交点或切点，则，

由（1）知，四边形是矩形.           

此时0＜，＞0，可得∽

故  即  

在中，  ∴  ∴，

解得     

② 当直线与⊙相离时，，

∴四边形不是矩形，此时＞4，

∴当＞4时，四边形不是矩形

综上所述：当0＜，四边形是矩形，这时；当＞4时，四边形不是矩形.

解法二：由（1）知：当时，四边形是矩形，

此时∽.

∴，  即       

又，  ，

∴        

∴

① 当时，解得，这时四边形是矩形.

② 当时，不存在，这时四边形不是矩形. 

解法三：如图，过点作于点,

在中，

在中，

在中，当时，，

则四边形是矩形.

所以

化简得：

配方得： 

【解析】（1）四边形DEFB是平行四边形．利用DE、EF为△OAB的中位线证明平行四边形；

（2）根据DE、EF为△OAB的中位线可知，S△AEF=S△ODE=1/4S△AOB，利用S=S△AOB-S△AEF-S△ODE求S与b的关系式；

（3）当∠ABO=90°时，四边形DEFB是矩形，由Rt△OCB∽Rt△ABO，根据相似比得OB2=OA•BC，由勾股定理得OB2=BC2+OC2，利用b、t分别表示线段的长，列方程求解．