Question

如图1，在第一象限内，直线与过点且平行于轴的直线相交于点，半径为的⊙与直线、轴分别相切于点、，且与直线分别交于不同的、两点.

（1）当点A的坐标为时，

① 填空：=   ， =    ，=    ；

②如图2，连结，交直线于，当时，试说明以、 、 、为顶点的四边形是等腰梯形；

（2）在图1中，连结并延长交⊙于点，试探索：对不同的取值，经过、、三点的抛物线，的值会变化吗？若不变，求出的值；若变化，请说明理由.

Answer

（1）① ，， ； 

② 连结、、、、MQ（如图1），

切⊙于， ∥轴

∴，且

又∵

∴四边形是平行四边形

∴∥        

在中，，∴

依题意，在四边形中，，

∴   ∴

∴、、在同一直线（直径）上        

∴∥    且，又  ∴

又，为等边三角形，∴

∴ 

∴四边形是等腰梯形                                 

注：也可证明.

（2）的值不变. 理由如下：    

如图，与交于点，连结、，

∵是⊙直径         ∴ 

又∵     ∴   

 ∴       ∴        

  即 ………………（Ⅰ）

（注：本式也可由∽得到）

∵在平移中，图形的形状及特征保持不变，

抛物线的图象可通过的图象平移得到.

∴可以将问题转化为：点在轴上，点、在轴上进行探索（如图4）                     

由图形的对称性得点为抛物线顶点，依题意设，则经过、、三点的抛物线为：，由，及（Ⅰ）式得：，

∴      ∴，   解得.

故的值不变 . 

【解析】（1）由点A在直线l上，得到p=1；点A在直线y=mx上，得到 ,解Rt△OBA得到∠AOE=60°；

（2）连接TM，ME，EN，ON，根据切线的性质得到QE⊥x轴，QT⊥OT，由QE⊥MN，得到MF=NF，而r=2，EF=1，则四边形QNEM为平行四边形，即QN∥ME；同时有△QEN为等边三角形，则∠NQE=60°，∠QNF=30°；在四边形OEQT中，∠QTO=∠QEO=90°，∠TOE=60°，可求出∠TQE=120°，于是有∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°，即T、Q、N三点共线，得到TN为直径；得到∠TMN=90°，得到TN∥ME，所以∠MTN=60°=∠TNE，得到以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；

（3）连DM，ME，根据垂径定理和圆周定理的推论得到∠DME=90°，DM垂直平分MN，所以Rt△MFD∽Rt△EFM，得到MF2=EF•FD，设D（h，k），（h＞0，k=2r），则过M、D、N三点的抛物线的解析式为：y=a（x-h）2+k，令y=1，得到x1，x2，即可得MF、MN，再由MF2=EF•FD得到a=-1．