Question

如图，正方形ABCD的顶点A、B分别在y轴和x轴上，且A点的坐标为（0,1），正方形的边长为.

   (1) 直接写出D、C两点的坐标；

 （2）求经过A、D、C三点的抛物线的关系式；

 （3）若正方形以每秒个单位长度的速度匀速沿射线下滑，直至顶点落在轴上时停               止．设正方形落在轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；

 （4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，到顶点落在轴上时，求抛物线上 两点间的抛物线弧所扫过的面积．

Answer

（1）；

（2）设抛物线为，抛物线过（0，1）（3，2）（1，3），依题意得：

     ∴ 抛物线的关系式是                     …………………………………5分

 （3）①当点A运动到点x轴时，

当时，如图1，

∵，

∴∴

∴；

 ②当点运动到轴上时，，

当时，如图2，

∴∴，

∵，

∴

；

   ③当点运动到轴上时，，

当时，如图3，

∵，

∴，

∵，   ∽

∴，

∴，

∴ 

          =．

（4）∵,,

∴

          =

          =．

【解析】（1）可先根据AB所在直线的解析式求出A，B两点的坐标，即可得出OA、OB的长．过D作DM⊥y轴于M，则△ADM≌△BAO，由此可得出MD、MA的长，也就能求出D的坐标，同理可求出C的坐标；

（2）可根据A、C、D三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式；

（3）要分三种情况进行讨论：

①当F点在A′B′之间时，即当0＜t≤1时，此时S为三角形FBG的面积，可用正方形的速度求出AB′的长，即可求出B′F的长，然后根据∠GFB′的正切值求出B′G的长，即可得出关于S、t的函数关系式．

②当A′在x轴下方，但C′在x轴上方或x轴上时，即当1＜t≤2时，S为梯形A′GB′H的面积，可参照①的方法求出A′G和B′H的长，那么梯形的上下底就可求出，梯形的高为A′B′即正方形的边长，可根据梯形的面积计算公式得出关于S、t的函数关系式．

③当D′逐渐移动到x轴的过程中，即当2＜t≤3时，此时S为五边形A′B′C′HG的面积，S=正方形A′B′C′D′的面积-三角形GHD′的面积．可据此来列关于S，t的函数关系式；

（4）CE扫过的图形是个平行四边形，经过关系不难发现这个平行四边形的面积实际上就是矩形BCD′A′的面积．可通过求矩形的面积来求出CE扫过的面积．