Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠ACD＝120º，BD＝10．

（1）求证：CA＝CD；（2）求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析（2）10

【解析】（1）证明：连接OC．

∵DC切⊙O于点C，

∴∠OCD=90°．

又∵∠ACD=120°，

∴∠ACO=∠ACD-∠OCD=120°-90°=30°．

∵OC=OA，

∴∠A=∠ACO=30°，

∴∠COD=60°．

∴∠D=30°，

∴CA=DC．

（2）【解析】
∵sin∠D=，

sin∠D=sin30°=，

∴．

解得OB=10．

即⊙O的半径为10．

（1）可通过证明角相等来证边相等．连接OC，则OC⊥CD，那么∠ACO=30°；根据等边对等角我们不难得出∠A=30°，∠COD=60°，直角三角形OCD中，∠COD=60°，因此∠A=∠D=30°，由此便可得出CA=CD．

（2）在直角三角形OCD中，可用半径表示出OC，OD，有∠D的度数，可用正弦函数求出半径的长．