Question

如图14，已知点A（－1，0），B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=90⁰，抛物线经过A、B、C三点，其顶点为M.

求抛物线的解析式；

试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；

在抛物线上是否存在点N，使得?如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由。

Answer

【解析】
（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，AO=1，BO=4，

∴△ACO∽△ABO 。∴，∴OC2=OA•OB=4。

∴OC=2。∴点C（0，2）。

∵抛物线经过A、B两点，

∴设抛物线的解析式为：，将C点代入上式，得：

，解得。

∴抛物线的解析式：，即。

（2）直线CM与以AB为直径的圆相切。理由如下：

如图，设抛物线的对称轴与x轴的交点为D，连接CD。

由于A、B关于抛物线的对称轴对称，则点D为Rt△ABC斜边AB的中点，CD=AB。

由（1）知：，

则点M（），ME=。

而CE=OD=，OC=2，∴ME：CE=OD：OC。

又∵∠MEC=∠COD=90°，∴△COD∽△CEM。∴∠CME=∠CDO。

∴∠CME+∠CDM=∠CDO+∠CDM=90°。∠DCM=90°。

∵CD是⊙D的半径，∴直线CM与以AB为直径的圆相切。

（3）由B（4，0）、C（0，2）得：BC=，

则：。

过点B作BF⊥BC，且使BF=h=，过F作直线l∥BC交x轴于G。

Rt△BFG中，sin∠BGF=sin∠CBO=，

BG=BF÷sin∠BGF=。

∴G（0，0）或（8，0）。

易知直线BC：y= x+2，则可设直线l：y= x+b，

将G点坐标代入，得：b=0或b=4，则：

直线l：y= x或y=x+4；

联立抛物线的解析式，得：

 ，或。

解得或或。

∴抛物线上存在点N，使得，这样的点有3个：

。

【解析】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，直线与的位置关系，平行线的性质。

【分析】（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，利用相似三角形能求出OC的长，即可确定C点坐标，再利用待定系数法能求出该抛物线的解析式。

（2）证明CM垂直于过点C的半径即可。

（3）先求出线段BC的长，根据△BCN的面积，可求出BC边上的高，那么做直线l，且直线l与直线BC的长度正好等于BC边上的高，那么直线l与抛物线的交点即为符合条件的N点。