Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，点E在AD边上，且AE=8，EF⊥BE交CD于F．

（1）求证：△ABE∽△DEF；

（2）求EF的长．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEB+∠ABE=90°。

    ∵EF⊥BE，∴∠AEB+∠DEF=90°，∴∠DEF=∠ABE。

∴△ABE∽△DEF。

（2）【解析】
∵△ABE∽△DEF，∴。

∵AB=6，AD=12，AE=8，∴，DE=AD-AE=12－8=4。

∴，解得：。

（1）由四边形ABCD是矩形，易得∠A=∠D=90°，又由EF⊥BE，利用同角的余角相等，即可得∠DEF=∠ABE，则可证得△ABE∽△DEF。

（2）由（1）△ABE∽△DEF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得 ，又由AB=6，AD=12，AE=8，利用勾股定理求得BE的长，由DE=AB－AE，求得DE的长，从而求得EF的长。