Question

在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。

如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在上找几个点试一试，能发现什么规律？

聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：

①作点B关于直线l的对称点B′．

②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．

请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．

（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．

（2）请直接写出△PDE周长的最小值：          

．

Answer

（1）见解析（2）8

【解析】【解析】
（1）作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求。

（2）8．

（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求。

（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案：

∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE为△ABC中位线。

∵BC=6，BC边上的高为4，∴DE=3，DD′=4。

∴。

∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E=3＋5=8。