Question

如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，连接PC并延长PC交y轴于点D（0，3）．

求证：（1）△POD≌△ABO；

（2）若直线l：y=kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式

Answer

（1）证明见解析（2）y=x+3

【解析】（1）证明：连接PB，

∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，

∴∠APB=∠DPO=×180°=60°，∠ABO=∠POD=90°。

∵PA=PB，∴△PAB是等边三角形。

∴AB=PA，∠BAO=60°，

∴AB=OP，∠BAO=∠OPD。

在△POD和△ABO中，

∵∠OPD=∠BAO， OP=BA ，∠POD=∠ABO ， 

∴△POD≌△ABO（ASA）。

（2）【解析】
由（1）得△POD≌△ABO，∴∠PDO=∠AOB。

∵∠AOB=∠APB=×60°=30°，∴∠PDO=30°。

∴OP=OD•tan30°=3×。∴点P的坐标为：（－，0）。

∵点P，D在直线y=kx+b上，

∴ ，解得： 。

∴直线l的解析式为：y=x+3。

（1）首先连接PB，由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，可求得∠APB=∠DPO=60°，∠ABO=∠POD=90°，即可得△PAB是等边三角形，可得AB=OP，然后由ASA，即可判定：△POD≌△ABO。

（2）易求得∠PDO=30°，由OP=OD•tan30°，即可求得点P的坐标，然后利用待定系数法，即可求得直线l的解析式。