Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O

上一点，且∠AED=45°。

（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径为6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值。

Answer

（1）CD与⊙O相切，理由见解析（2）

【解析】【解析】
（1）连接BD，OD，

∵AB是直径，∴∠ADB=90°。

∵∠ABD=∠E=45°，∴∠DAB=45°，则AD=BD。

∴△ABD是等腰直角三角形。∴OD⊥AB。

又∵DC∥AB，∴OD⊥DC， ∴CD与⊙O相切。

（2）过点O作OF⊥AE，连接OE，

则AF=AE=×10=5。

∵OA=OE，∴∠AOF=∠AOE。

∵∠ADE=∠AOE，∴∠ADE=∠AOF。

在Rt△AOF中，sin∠AOF=，

∴sin∠ADE= sin∠AOF =。

（1）连接OD，BD，由AB为直径，∠AED=45°，证得△ABD是等腰直角三角形，即AD=BD，

然后由等腰三角形的性质，可得OD⊥AB，又由四边形ABCD是平行四边形，即可证得OD⊥CD，即可

证得CD与⊙O相切。

（2）过点O作OF⊥AE，连接OE，由垂径定理可得AF=6，∠AOF=∠AOE，又由圆周角定理

可得∠ADE=∠AOE，从而证得∠AOF=∠ADE，然后在Rt△AOF中，求得sin∠AOF的值，即可求得

答案。