Question

如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO

为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB=，点E，F分别是线段AD，AC上的动点（点

E不与点A，D重合），且∠CEF=∠ACB。

（1）求AC的长和点D的坐标；

（2）说明△AEF与△DCE相似；

（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标。

Answer

（1）20，D（12，0）（2）证明见解析（3）E的坐标为（8，0）或（，0）

【解析】【解析】
（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠B=90°。

在Rt△ABC中，BC=AB÷tan∠ACB=16÷=12 ，AC=。

则AO=BC=12。∴ A（-12，0）。

∵点D与点A关于轴对称，∴D（12，0）。

（2）∵点D与点A关于y轴对称，∴∠CDE=∠CAO。

∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，∴∠CDE=∠CEF。

又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE（三角形外角性质），∴∠AEF=∠DCE。

则在△AEF与△DCE中，∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，

∴△AEF∽△DCE。

（3）当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：

①当CE=EF时，∵△AEF∽△DCE，∴△AEF≌△DCE。∴AE=CD=20。

∴OE=AE－OA=20－12=8。∴E（8，0）。

②当EF=FC时，如图所示，过点F作FM⊥CE于M，

则点M为CE中点。

∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=EF。

∵点D与点A关于y轴对称，∴CD=AC=20。

∵△AEF∽△DCE，

∴ ，即 ，解得。

∴OE=AE－OA=，∴E（ ，0）。

③当CE=CF时，则有∠CFE=∠CEF，

∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，∴∠CFE=∠CAO。

即此时F点与A点重合，这与已知条件矛盾。

综上所述，当△EFC为等腰三角形时，点E的坐标为（8，0）或（，0）。

（1）利用矩形的性质，在Rt△ABC中，利用三角函数求出AC、BC的长度，从而得到A点坐标；

由点D与点A关于y轴对称，进而得到D点的坐标。

（2）欲证△AEF与△DCE相似，只需要证明两个对应角相等即可，在△AEF与△DCE中，易知

∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，从而问题解决。

（3）当△EFC为等腰三角形时，需要分CE=EF，EF=FC，CE=CF三种情况讨论。