Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA₁B₁；再将△OA₁B₁绕着线段OB₁的中点旋转180°，得到△OA₂B₁，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点B、B₁、A₂．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB₁的面积最大？求出这时点P的坐标．

（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB₁的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（2）P（﹣2，）（3）存在，（﹣1，﹣4）或（﹣3，﹣2）

【解析】【解析】
（1）∵AB⊥x轴，AB=3，tan∠AOB=，∴OB=4。

      ∴B（﹣4，0），B1（0，﹣4），A2（3，0）。

∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2，

∴，解得。

∴抛物线的解析式为：。

（2）点P是第三象限内抛物线上的一点，

如图，过点P作PC⊥x轴于点C．

设点P的坐标为（m，n），

则m＜0，n＜0，。

∴PC=|n|=﹣，OC=|m|=﹣m，

BC=OB﹣OC=|﹣4|﹣|m|=4+m。

∴

∴当m=﹣2时，△PBB1的面积最大，这时，n=，即点P（﹣2，）。

（3）存在。

假设在第三象限的抛物线上存在点Q（x0，y0），使点Q到线段BB1的距离为。

如图，过点Q作QD⊥BB1于点D，设Q（xQ，yQ），

由（2）可知，此时△QBB1的面积可以表示为：

，

在Rt△OBB1中，。

∵，

∴，解得xQ=﹣1或xQ=﹣3。

当xQ=﹣1时，yQ=﹣4；当xQ=﹣3时，yQ=﹣2。

因此，在第三象限内，抛物线上存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为，这样的点Q的坐标是（﹣1，﹣4）或（﹣3，﹣2）。

（1）根据旋转的性质确定点B、B1、A2三点的坐标，利用待定系数法求得抛物线的解析式。

（2）求出△PBB1的面积表达式，这是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出△PBB1面积的最大值。

（3）引用（2）问中三角形面积表达式的结论，利用此表达式表示出△QBB1的面积，然后解一元二次方程求得Q点的坐标。