Question

如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O 的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连结并延交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G.

⑴求证：AE·FD=AF·EC；

⑵求证：FC=FB；

⑶若FB=FE=2，求⊙O 的半径r的长.

Answer

（1）证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠DBA=90°。

∵CH⊥AB，∴CH∥BD。∴△AEC∽△AFD。

∴。∴AE•FD=AF•EC。

（2）证明：∵CH∥BD，∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF。∴。

∵CE=EH（E为CH中点），∴BF=DF。

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=∠DCB=90°。∴CF=DF=BF，即CF=BF。

（3）【解析】
∵BF=CF=DF（已证），EF=BF=2，∴EF=FC。∴∠FCE=∠FEC。

∵∠AHE=∠CHG=90°，∴∠FAH+∠AEH=90°，∠G+∠GCH=90°。

∵∠AEH=∠CEF，∴∠G=∠FAG。∴AF=FG。

∵FB⊥AG，∴AB=BG。

连接OC，BC，

∵BF切⊙O于B，∴∠FBC=∠CAB。

∵OC=OA，CF=BF，

∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC

∴∠FCB=∠CAB。

∵∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°。∴∠FCB+∠BCO=90°，即OC⊥CG。

∴CG是⊙O切线。

∵GBA是⊙O割线，FB=FE=2，由切割线定理得：（2+FG）2=BG×AG=2BG2，

【注，没学切割线定理的可由△AGC∽△CGB求得】

在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2=FG2﹣BF2，∴FG2﹣4FG﹣12=0。

解得：FG=6，FG=﹣2（舍去）。

由勾股定理得：AB=BG=。

∴⊙O的半径r是。

【解析】（1）由BD是⊙O的切线得出∠DBA=90°，推出CH∥BD，证△AEC∽△AFD，得出比例式即可。

（2）证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出CF=DF=BF即可。

（3）求出EF=FC，求出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，连接OC，BC，求出∠FCB=∠CAB推出CG是⊙O切线，由切割线定理（或△AGC∽△CGB）得出（2+FG）2=BG×AG=2BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG2=FG2﹣BF2，推出FG2﹣4FG﹣12=0，求出FG即可，从而由勾股定理求得AB=BG

的长，从而得到⊙O的半径r。