Question

如图所示，在形状和大小不确定的△ABC中，BC=6，E、F分别是AB．AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=y，PE=x．

（1）当x=EF时，求S_△DPE：S_△DBC的值；

（2）当CQ=CE时，求y与x之间的函数关系式；

（3）①当CQ=CE时，求y与x之间的函数关系式；

     ②当CQ=CE（n为不小于2的常数）时，直接写出y与x之间的函数关系式．

Answer

【解析】
（1）∵E、F分别是AB．AC的中点，x=EF，

∴EF∥BC，且EF=BC，

∴△EDP∽△CDB，

∴=，

∴S△DPE：S△DBC=1：36；

（2）如右图，设CQ=a，DE=b，BD=c，则DP=y﹣c；

不妨设EQ=kCQ=ka（k＞0），则DQ=ka﹣b，CD=（k+1）a﹣b．

过Q点作QM⊥BC于点M，作QN⊥BP于点N，

∵BQ平分∠CBP，∴QM=QN．

∴，

又∵，

∴，即 ①

∵EP∥BC，∴，即 ②

∵EP∥BC，∴，即 ③

由①②③式联立解得：y=6k﹣x ④

当CQ=CE时，k=1，∴y与x之间的函数关系式为：y=6﹣x．

（3）当CQ=CE时，k=2，由（2）中④式可知，y与x之间的函数关系式为：y=12﹣x；

当CQ=CE（n为不小于2的常数）时，k=n﹣1，由（2）中④式可知，y与x之间的函数关系式为：y=6（n﹣1）﹣x；

【解析】（1）根据中位线定理、相似三角形的判定与性质可以求得S△DPE：S△DBC的值；

（2）（3）问的解答，采用一般到特殊的方法．解答中首先给出了一般性结论的证明，即当EQ=kCQ（k＞0）时，y与x满足的函数关系式为：y=6k﹣x；然后将该关系式应用到第（2）（3）问中求解．在解题过程中，充分利用了相似三角形比例线段之间的关系．另外，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质得出了一个重要结论（（2）中①式子），该结论在解题过程中发挥了重要作用．