Question

如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=【    】。

A．1：     B．1：2     C．：2     D．1：

Answer

B。

【解析】如图，连接AP，

∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，

∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°。

又∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，∴∠ABP=∠CBP′。

在△ABP和△CBP′中，∵ BP=BP′，∠ABP=∠CBP′，AB=BC ，∴△ABP≌△CBP′（SAS）。

∴AP=P′C。

∵P′A：P′C=1：3，∴AP=3P′A。

连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形。∴∠BP′P=45°，PP′= 2 PB。

∵∠AP′B=135°，∴∠AP′P=135°-45°=90°，∴△APP′是直角三角形。

设P′A=x，则AP=3x，

在Rt△APP′中，。

在Rt△APP′中，。

∴，解得PB=2x。∴P′A：PB=x：2x=1：2。 故选B。