Question

如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，连接PO、AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C=60°。

（1）求∠APB的大小；

（2）若PO=20cm，求△AOB的面积。

Answer

【解析】
（1）∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB。∴∠PAO=∠PBO=90°。

∵∠C=60°，∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°。

∴∠APB=360°－∠PAO－∠PBO－∠AOB=60°。

（2）∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴∠APO=∠APB=×60°=30°，PA=PB。

∴P在AB的垂直平分线上。

∵OA=OB，∴O在AB的垂直平分线上，即OP是AB的垂直平分线，

∴OD⊥AB，AD=BD=AB。

∵∠PAO=90°，∴∠AOP=60°。

在Rt△PAO中，AO=PO=×20=10，

在Rt△AOD中，AD=AO•sin60°=10×，OD=OA•cos60°=10×=5，

∴AB=2AD=，

∴△AOB的面积为：AB•OD=（cm2）。

【解析】（1）由PA、PB分别切⊙O于A、B，由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小。

（2）由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长，从而求得答案。