Question

已知关于x的方程x²－（m＋2）x＋（2m－1）=0。

（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长。

Answer

【解析】
（1）证明：∵△=（m＋2）2－4（2m－1）=（m－2）2＋4，

 ∴在实数范围内，m无论取何值，（m－2）2+4≥4＞0，即△＞0。

∴关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0恒有两个不相等的实数根。

（2）∵此方程的一个根是1，

∴12－1×（m＋2）＋（2m－1）=0，解得，m=2，

则方程的另一根为：m＋2－1=2+1=3。

①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为，该直角三角形的周长为1＋3＋=4＋。

②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为1＋3＋=4＋。

【解析】（1）根据关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0的根的判别式的符号来证明结论。

（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根。分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算。