Question

如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE=CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G。

（1）求证：AF⊥BE；

（2）试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系；

（3）若GO：CF=4：5，试确定E点的位置。

Answer

【解析】
（1）证明：∵ABCD为正方形，且DE=CF，∴AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°。

∴△ABE≌△DAF（SAS）。∴∠ABE=∠DAF。

又∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠DAF+∠AEB=90°。

∴∠AOE=90°，即AF⊥BE。

（2）BO=AO+OG。理由如下：

由（1）的结论可知，∠ABE=∠DAF，∠AOB=∠DGA=90°，AB=AD，

∴△ABO≌△DAG（AAS）。∴BO=AG=AO+OG。

（3）过E点作EH⊥DG，垂足为H，

由矩形的性质，得EH=OG，

∵DE=CF，GO：CF=4：5，∴EH：ED=4：5。

∵AF⊥BE，AF⊥DG，∴OE∥DG，∴∠AEB=∠EDH。

∴△ABE∽△HED。∴AB：BE=EH：ED=4：5。

在Rt△ABE中，AE：AB=3：4，∴AE：AD=3：4，即AE=AD。

∴点E在AD上离点A的AD处。

【解析】（1）由DE=CF及正方形的性质，得出AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，由SAS证明△ABE≌△DAF，得出∠ABE=∠DAF，而∠ABE+∠AEB=90°，利用互余关系得出∠AOE=90°即可。

（2）由（1）的结论根据AAS可证△ABO≌△DAG，得BO=AG=AO+OG。

 （3）过E点作EH⊥DG，垂足为H，则EH=OG，由DE=CF，GO：CF=4：5，得EH：ED=4：5，而AF⊥BE，AF⊥DG，则OE∥DG，∠AEB=∠EDH，△ABE∽△HED，利用相似比得出AB：BE，由勾股定理得出AE：AB，从而得出AE：AD。