Question

已知a、b是正实数，那么，是恒成立的．

（1）(3分)由恒成立，说明恒成立；

（2）(3分)填空：已知a、b、c是正实数，由恒成立，猜测：     ▲    也恒成立；

（3）(2分)如图，已知AB是直径，点P是弧上异于点A和点B的一点，PC⊥AB，垂足为C，AC＝a，ＢC＝b，由此图说明恒成立．

Answer

（1）见解析（2）（3）见解析

【解析】【解析】
（1）由得，。

∴于是 ，即。

（2）。

（3）连接OP。

∵AB是直径，∴∠APB=90°。

又∵PC⊥AB，∴Rt△APC∽Rt△PBC。

∴，即，∴。

又∵PO=，由垂线段最短，得PO≥PC，即。

（1）由，利用完全平方公式，即可证得恒成立。

（2）设x≥0，y≥0，z≥0，

∵，

∴，即。

令，得。

（3）首先证得Rt△APC∽Rt△PBC，由相似三角形的对应边成比例，可求得PC的值，又由OP是半径，可求得OP=，然后由点到线的距离垂线段最短，即可证得恒成立。