Question

（1）(3分)如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD∶GC∶EB的结果（不必写计算过程）；

（2）(3分)将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD∶GC∶EB；

（3）(2分)把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知ＤA∶AB＝HA∶AE＝m: n，此时HD∶GC∶EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．

Answer

（1）HD:GC:EB＝１: :1（2）HD:GC:EB＝１: :1（3）有变化，HD:GC:EB＝

【解析】【解析】
（1）HD:GC:EB＝１: :1。

（2）连接AG、AC，

∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，

∴AD:AC＝AH:AG＝１: ，∠DAC=∠HAG=45°。

∴∠DAH=∠CAG。∴△DAH∽△CAG。

∴HD:GC＝AD:AC＝１: 。

∵∠DAB=∠HAE=90°，∴∠DAH=∠BAE。

又∵AD＝AB，AH＝AE，∴△DAH≌△BAE（SAS）。∴HD=EB。

∴HD:GC:EB＝１: :1。

（3）有变化，HD:GC:EB＝。

（1）连接AG，

∵正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，

∴∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD。

∴A，G，C共线，AB－AE=AD－AH，∴HD=BE。

∵ 

∴GC=AC－AG=AB－AE= （AB－AE）= BE。

∴HD：GC：EB=1：：1。

（2）连接AG、AC，由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，易证得△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质，即可求得HD：GC：EB的值。

（3）连接AG、AC，

∵矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上，

DA：AB=HA：AE=m：n，

∴∠ADC=∠AHG=90°，∴△ADC∽△AHG。

∴AD：AC=AH：AG=，∠DAC=∠HAG。

∴∠DAH=∠CAG。∴△DAH∽△CAG。

∴HD：GC=AD：AC=。

∵∠DAB=∠HAE=90°，∴∠DAH=∠BAE。

∵DA：AB=HA：AE=m：n，∴△ADH∽△ABE。∴DH：BE=AD：AB=m：n。

∴HD：GC：EB=。