Question

抛物线的顶点在直线上，过点F（－2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．

（1）(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；

（2）(3分)设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF＝NB；

（3）(3分)若射线NM交x轴于点P，且PA×PB＝，求点M的坐标．

Answer

（1）（2）N(a, )，证明见解析（3）M（－3 , ）

【解析】【解析】
（1）∵，∴顶点坐标为(－2 , )。

∵顶点在直线上，@]∴－2+3=，解得。

（2）∵点N在抛物线上，且点N的横坐标为a，

∴点N的纵坐标为，即点N(a, )。

过点F作FC⊥NB于点C，

在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB－CB=,

∴ 

。

而，

∴NF2=NB2，NF=NB。

（3）连接AF、BF，

由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，

由（2）的结论知，MF=MA，

∴∠MAF=∠MFA。

∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，

∴MA∥NB。∴∠AMF+∠BNF=180°。

∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°。

∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°。

又∵∠FAB+∠MAF=90°，∴∠FBA=∠MAF=∠MFA 。

又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF。

∴，∴PF2= PA×PB＝。

过点F作FG⊥x轴于点G。

在Rt△PFG中，，∴PO=PG+GO=。

∴P(－ , 0) 。

设直线PF：，把点F（－2 , 2）、点P(－ , 0)代入得

，解得。

∴直线PF：。

解方程，得x=－3或x=2（不合题意，舍去）。

当x=－3时，，∴M（－3 , ）。

（1）利用配方法将二次函数整理成顶点式即可，再利用点在直线上的性质得出答案即可。

 （2）首先利用点N在抛物线上，得出N点坐标，再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2，从而得出NF2=NB2，即可得出答案。

（3）求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后连接AF、FB，通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA•PB的值转化为PF的值，从而求出点F的坐标和直线PF的解析式，即可得解。