Question

如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作

⊙O的切线交OE的延长线于点F，连结CF并延长交BA的延长线于点P.

（1）求证：PC是⊙O的切线.

（2）若AF=1，OA=，求PC的长.

Answer

【解析】
（1）证明：连结OC，

∵OE⊥AC，∴AE=CE。∴FA=FC。

∴∠FAC=∠FCA。

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA。

∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA，即∠FAO=∠FCO。

∵FA与⊙O相切，且AB是⊙O的直径，∴FA⊥AB。∴∠FCO=∠FAO=90°。

又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线。

（2）∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°。

而∠FPA=∠OPC，∠PAF=90°，∴△PAF∽△PCO 。∴。

∵CO=OA=，AF=1，∴PC=PA 。

设PA=x，则PC=

在Rt△PCO中，由勾股定理得， ，解得：。

∴PC。

【解析】切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】（1）连接OC，根据垂径定理，利用等角代换可证明∠FAC=∠FCA，然后根据切线的性质得出∠FAO=90°，然后即可证明结论。

 （2）先证明△PAF∽△PCO，利用相似三角形的性质得出PC与PA的关系，在Rt△PCO中，利用勾股定理可得出x的值，从而也可得出PC得长。