Question

如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（－2，0），过点B和线

段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE.

（1）填空：点D的坐标为（      ），点E的坐标为（      ）.

（2）若抛物线经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式.

（3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E

落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动.

①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，

并写出相应自变量t的取值范围.

②运动停止时，求抛物线的顶点坐标.



Answer

【解析】
（1）D（－1，3），E（－3，2）。

         （2）抛物线经过（0，2）、（－1，3）、（－3，2），则

，解得  。

∴抛物线的解析式为

         （3）①求出端点的时间：

当点D运动到y轴上时，如图1，DD1=DC=BC =，t=。

当点B运动到y轴上时，如图2，BB1=BC=，t=。

当点E运动到y轴上时，如图2，EE1=ED＋DE1=，t=。

当0＜t≤时，如图4，正方形落在y轴右侧部分的面积为△CC′F的面积，设D′C′交y轴于点F。

∵tan∠BCO==2，∠BCO=∠FCC′，

∴tan∠FCC′=2, 即=2。

∵CC′=t，∴FC′=2t。

∴S△CC′F=CC′·FC′=t×t=5 t2。

当＜t≤1时，如图5，正方形落在y轴右侧部分的面积为直角梯形CC′D′G的面积，设D′E′交y轴于点G，过G作GH⊥B′C′于H。

∵GH=BC=，∴CH=GH=。

∵CC′=t，∴HC′= GD′=t－。

∴

当1＜t≤时，如图6，正方形落在y轴右侧部分的面积为五边形B′C′D′MN的面积，设D′E′、E′B′分别交y轴于点M、N。

∵CC′=t，B′C′=,

∴CB′=t－。∴B′N=2CB′=t－。

∵B′E′=，∴E′N=B′E′－B′N=－t。

∴E′M=E′N= (－t)。

∴。

∴。

综上所述，S与x的函数关系式为：

。

②当点E运动到点E′时，运动停止，如图7所示。

∵∠CB′E′=∠BOC=90°，∠BCO=∠B′CE′，

∴△BOC∽△E′B′C。∴。

∵OB=2，B′E′=BC=，∴。

∴CE′=。

∴OE′=OC+CE′=1+。∴E′（0，）。

由点E（－3，2）运动到点E′（0，）,可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了个单位。

∵，∴原抛物线顶点坐标为（）

∴运动停止时，抛物线的顶点坐标为（）。

【解析】二次函数综合题，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平移的性质，相似三角形的判定和性质，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）构造全等三角形，由全等三角形对应线段之间的相等关系，求出点D、点E的坐标：

由题意可知：OB=2，OC=1。

如图8所示，过D点作DH⊥y轴于H，过E点作EG⊥x轴于G。

易证△CDH≌△BCO，∴DH=OC=1，CH=OB=2，∴D（－1，3）。

同理△EBG≌△BCO，∴BG=OC=1，EG=OB=2，∴E（－3，2）。

∴D（－1，3）、E（－3，2）。

（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式。

（3）①为求s的表达式，需要识别正方形（与抛物线）的运动过程．正方形的平移，从开始到结束，总共历时秒，期间可以划分成三个阶段： 0＜t≤， ＜t≤1，1＜t≤，对照图形，对每个阶段的表达式求解即可。

②当运动停止时，点E到达y轴，点E（－3，2）运动到点E′（0，），可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了个单位．由此由平移前的抛物线顶点坐标推出平移后的抛物线顶点坐标。