Question

如图，一次函数的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：

①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD．

其中正确的结论是【    】

A．①②        B． ①②③        C．①②③④         D． ②③④

Answer

C。

【解析】∵一次函数的图象与x轴，y轴交于A，B两点，∴A（0，－3），B（3，0）。

        联立和可得C（－4，－1），D（1，4），∴E（0，－1），F（1，0）。

        ∴OA=OB=3，OE=OF=1，即△ABO和△EFO都是等腰直角三角形。∴∠BAO=∠EFO=450。∴AB∥EF。

        ∴△CEF与△DEF是同底等高的三角形。∴△CEF与△DEF的面积相等。所以结论①正确。

        又由AB∥EF，得△AOB∽△FOE。所以结论②正确。

        由各点坐标，得CE=4，DF=4，CF=，DE=，∴CE=DF，CF=DE。

        又∵CD=DC，∴△DCE≌△CDF（SSS）。所以结论③正确。

        由AF=CE=4和AF∥CE得，四边形ACEF是平行四边形。∴AC=FE。

        由BE=DF=4和BE∥DF得，四边形DBEF是平行四边形。∴BD=EF。

        ∴AC=BD。所以结论④正确。因此，正确的结论是①②③④。故选C。