Question

已知抛物线经过A（2，0）． 设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．

（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；

（2）如图，在直线 上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐

标；若不存在，请说明理由；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在，试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．

Answer

（1），P的坐标为（4，），B的坐标是（6，0）（2）D点的坐标为（2, ）（3）存在，证明见解析

【解析】【解析】
（1）∵抛物线经过A（2，0），

∴，解得。

∴抛物线的解析式为。

∵，

∴顶点P的坐标为（4，）。

令y=0，得，解得。

∴点B的坐标是（6，0）。

（2）在直线 上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形。理由如下：

设直线PB的解析式为，把B（6,0）,P(4, )分别代入，得

 ， 解得。

       ∴直线PB的解析式为。

       又∵直线OD的解析式为

       ∴直线PB∥OD。

       设直线OP的解析式为，把P(4, )代入，得

  ，解得。

如果OP∥BD，那么四边形OPBD为平行四边形。

设直线BD的解析式为，将B(6,0)代入，得

，解得。

∴直线BD的解析式为。

联立方程组，解得。

∴D点的坐标为（2, ）。

           （3）符合条件的点M存在。验证如下：

过点P作x轴的垂线，垂足为为C，

则PC=，AC=2，

由勾股定理，可得AP=4，PB=4。

又∵AB=4，∴△APB是等边三角形。

作∠PAB的平分线交抛物线于M点，连接PM,BM。

∵AM=AM，∠PAM=∠BAM，AB=AP，∴△AMP≌△AMB.（SAS）。

因此即存在这样的点M，使△AMP≌△AMB.。

（1）由抛物线经过A（2，0），代入即可求出b的值；从而得出抛物线的解析式，化为顶点式即可求出顶点P的坐标；令y=0，即可求出点B的坐标。

    （2）用待定系数法，求出直线PB、BD的解析式，联立和，解之即得点D的坐标。

（3）由勾股定理求出AP、BP和AB的长，证出△APB是等边三角形，即可作BP的中垂线AM交BP于点M，点M即为所求。