Question

如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．

（1）求证：∠APB=∠BPH；

（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；

（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析（2）不变为定值8，证明见解析（3）当x=2时，S有最小值6

【解析】【解析】
（1）如图1，

∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．

又∵∠EPH=∠EBC=90°，

∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。

又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。

（2）△PHD的周长不变为定值8。证明如下：

如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q。

由（1）知∠APB=∠BPH，

又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，

∴△ABP≌△QBP（AAS）。∴AP=QP，AB=BQ。

又∵AB=BC，∴BC=BQ。

又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HL）。∴CH=QH。

∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。

（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB。

又∵EF为折痕，∴EF⊥BP。

∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。

又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME，∴△EFM≌△BPA（ASA）。

∴EM=AP=x．

∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，即。

∴。

又∵四边形PEFG与四边形BEFC全等，

∴。

∵，∴当x=2时，S有最小值6。

（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案。

（2）先由AAS证明△ABP≌△QBP，从而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH。因此，△PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。

（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，从而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可。