Question

如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点,连结AE，作BF⊥AE，垂足为H,交CD于F,作CG∥AE,交BF于G.

求证：（1） CG=BH；（2）FC²=BF·GF；（3）.

Answer

(1)、 (2)、 (3) 证明见解析

【解析】证明：（1）∵BF⊥AE，CG∥AE，CG⊥BF，∴CG⊥BF.

                  ∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=900, ∠CBG+∠BCG=900, ∠BAH+∠ABH=900,

∴∠BAH=∠CBG，∠ABH=∠BCG。

又∵AB=BC，∴△ABH≌△BCG（ASA）。∴CG=BH。

（2）∵∠BFC=∠CFG，∠BCF=∠CGF=900，∴△CFG∽△BFC。

 ∴，即FC2=BF·GF。

（3）∵∠CBG=∠FBC，∠CGB=∠FCB =900，∴△CBG∽△FBC。

∴，即BC2=BF·BG。

∵AB=BC，∴AB2=BF·BG。

∴，即。

（1）由互余关系得出∠BAH=∠CBG，而∠AHB=∠BGC=90°，AB=BC，可证△ABH≌△BCG，得出结论。

（2）在Rt△BCF中，CG⊥BF，利用互余关系可证△CFG∽△BFC，利用相似比得出结论。

（3）根据Rt△BCF中，CG⊥BF，同理可证△CBG∽△FBC，利用相似比得出BC2=BF·BG，即AB2=BF·BG，结合（2）的结论求比即可。