Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5.

（Ⅰ)探究新知：

如图① ⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G..

（1）求证内切圆的半径r₁=1;

（2）求tan∠OAG的值；

（Ⅱ）结论应用

（1）如图②若半径为r₂的两个等圆⊙O₁、⊙O₂外切，且⊙O₁与AC、AB相切，⊙O₂与BC、AB相切，求r₂的值；

（2）如图③若半径为r_n的n个等圆⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n依次外切，且⊙O₁与AC、AB相切，⊙O_n与BC、AB相切，⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n均与AB相切，求r_n的值.

Answer

（Ⅰ)探究新知（1）证明见解析（2）1/2（Ⅱ）结论应用（1）（2）

【解析】【解析】
（Ⅰ）（1）证明：在图①中，连接OE，OF。

                 ∵点E、F、G是⊙O的切点

                 ∴四边形CEOF是正方形， CE=CF=r1。

又∵AC=3，BC=4，AB=5，

∴AG=AE=3－r1，BG=BF=4－r1，AG+BG=5。

∴（3－r1）＋（4－r1）=5，解得r1=1。

（2）连接OG，OA在Rt△AOG中，∵OG=r1=1， AG= 3－r1=2，

∴tan∠OAG=。

（Ⅱ）

（1）连接O1A、O2B，作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E。

则 AO1、BO2分别平分∠CAB、∠ABC。

由（Ⅰ）tan∠OAG=，知tan∠O1AD=，

同理可得：tan∠O2BE=。           

                ∴AD=2r2，DE=2r2，BE=3r2。

∵AD＋DE＋BE=5，∴。

（2）如图③，

连接O1A、OnB，作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E、…、OnF⊥AB交于点F。 则AO1、BO2分别平分∠CAB、∠ABC。

tan∠O1AD=，tan∠OnBF=,

               ∴AD=2rn，DE=2rn，…,FB=3rn。

又∵AD+DE+…+FB=5，2rn+2rn+…+3rn=5，即(2n+3) rn=5，

∴。

（Ⅰ）（1）由切线的性质可得四边形CEOF是正方形，从而由AG=AE=3－r1，BG=BF=4－r1，AG+BG=5可证得内切圆的半径r1=1。

（2）根据锐角三角函数定义直接求得。

（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）的结论得tan∠O1AD=，同理可推得tan∠O2BE=，从而由AD=2r2，DE=2r2，BE=3r2和AD＋DE＋BE=5可求得r2的值。

（2）由（Ⅱ）（1）有tan∠O1AD=，tan∠OnBF=,从而由AD=2rn，DE=2rn，…,FB=3rn和AD+DE+…+FB=5，2rn+2rn+…+3rn=5可求得rn的值。