Question

如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2 3 ，AC，BD相交于点O．

（1）求边AB的长；

（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．

①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；

②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），求CG的长．

Answer

（1）2（2）①等边三角形，理由见解析②

【解析】【解析】
（1）∵四边形ABCD是菱形，∴△AOB为直角三角形，且OA=AC=1，OB=BD= 3。

在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=。

（2）①△AEF是等边三角形。理由如下：

∵由（1）知，菱形边长为2，AC=2，∴△ABC与△ACD均为等边三角形。

∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°。

又∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，∴∠BAE=∠CAF。

在△ABE与△ACF中，∵∠BAE=∠CAF ，AB=AC=2 ，∠EBA=∠FCA=60°，

∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴AE=AF。∴△AEF是等腰三角形。

又∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形。

②BC=2，E为四等分点，且BE＞CE，∴CE=，BE=。

由①知△ABE≌△ACF，∴CF=BE=。

∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形内角和定理），

∠AEG=∠FCG=60°（等边三角形内角），∠EGA=∠CGF（对顶角），

∴∠EAC=∠GFC。

在△CAE与△CFG中，∵ ∠EAC=∠GFC ，∠ACE=∠FCG=60°，

∴△CAE∽△CFG 。∴，即。解得：CG=。

（1）根据菱形的性质，确定△AOB为直角三角形，然后利用勾股定理求出边AB的长度。

（2）①确定一对全等三角形△ABE≌△ACF，得到AE=AF，再根据已知条件∠EAF=60°，可以判定△AEF是等边三角形。

②确定一对相似三角形△CAE∽△CFG，由对应边的比例关系求出CG的长度。