Question

如图1，抛物线y=ax²＋bx＋3与x轴相交于点A（－3，0），B（－1，0），与y轴相交于点C，⊙O₁为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求cos∠CAB的值和⊙O₁的半径；

（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．

Answer

（1）y=x2＋4x＋3（2），（3）（，）或（，）

【解析】【解析】
（1）∵抛物线y=ax2＋bx＋3与x轴相交于点A（－3，0），B（－1，0），

∴，解得。∴抛物线的解析式为：y=x2＋4x＋3。

（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2＋4x＋3，

∵令x=0，得y=3，∴C（0，3）。

∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形。

∴∠CAB=45°，∴cos∠CAB=。

在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=。

如图1所示，连接O1B、O1C，

由圆周角定理得：∠BO1C=2∠BAC=90°。

∴△BO1C为等腰直角三角形，

∴⊙O1的半径O1B=。

（3）点N的坐标为（，）或（，）。

（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）如答图1所示，由△AOC为等腰直角三角形，确定∠CAB=45°，从而求出其三角函数值；由

圆周角定理，确定△BO1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度。

（3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，从而求出点M的坐标和线段

BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用勾股定理，列出方程组，求出点N的坐标。

∵抛物线y=x2＋4x＋3=（x＋2）2－1，

∴顶点P坐标为（－2，－1），对称轴为x= －2。

又∵A（－3，0），B（－1，0），可知点A、B关于对称轴x=2对称。

如图2所示，

由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称。

∴D（－4，3）。

又∵点M为BD中点，B（－1，0），∴M（）。

∴BM=。

在△BPC中，B（－1，0），P（－2，－1），C（0，3），

由勾股定理得：BP=，BC=，PC=。

∵△BMN∽△BPC，

∴，即。

解得：BN=，MN。

设N（x，y），由勾股定理可得：

，解得，，。

∴点N的坐标为（，）或（，））。