Question

如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE．

    (1)求证：四边形AECF为平行四边形；

    (2)当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值．

Answer

（1）证明见解析(2)

【解析】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形（已知），

∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）。

又∵AM丄BC（已知），∴AM⊥AD。

∵CN丄AD（已知），∴AM∥CN。∴AE∥CF。

又由平行得∠ADE=∠CBD，又AD=BC（平行四边形的对边相等）。

在△ADE和△CBF中， ∠DAE=∠BCF=90 ，AD=CB，∠ADE=∠FBC，

∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE=CF（全等三角形的对应边相等）。

∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

（2）如图，连接AC交BF于点0，当AECF为菱形时，则AC与EF互相垂直平分。

∵BO=OD（平行四边形的对角线相互平分），

∴AC与BD互相垂直平分。

∴ABCD是菱形（对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形）。

∴AB=BC（菱形的邻边相等）。

∵M是BC的中点，AM丄BC（已知），∴△ABM≌△CAM。

∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）。∴△ABC为等边三角形。

∴∠ABC=60°，∠CBD=30°。

在Rt△BCF中，CF：BC=tan∠CBF=。

又∵AE=CF，AB=BC，∴AB：AE=。

（1）根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知AE∥CF；然后由ASA推知△ADE≌△CBF；最后根据全等三角形的对应边相等知AE=CF，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定得出结论。

（2）如图，连接AC交BF于点0．由菱形的判定定理推知平行四边形ABCD是菱形，根据菱形的邻边相等知AB=BC；然后结合已知条件“M是BC的中点，AM丄BC”证得△ADE≌△CBF（ASA），所以AE=CF（全等三角形的对应边相等），从而证得△ABC是正三角形；最后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求得CF：BC=tan∠CBF= ，利用等量代换知（AE=CF，AB=BC）AB：AE=。