Question

如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴的直线、．

    (1)求抛物线对应二次函数的解析式；

    (2)求证以ON为直径的圆与直线相切；

    (3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长．

Answer

（1）（2）证明见解析(3) 4(1+k2)，证明见解析

【解析】【解析】
（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2＋bx＋c，

则  解得。

∴抛物线对应二次函数的解析式 所以。

          （2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为点M、N在抛物线上，

               ∴，∴x22=4(y2+1)。

又∵，∴。

又∵y2≥－l，∴ON=2＋y2。

设ON的中点E，分别过点N、E向直线作垂线，垂足为P、F， 则 ，

∴ON=2EF，

即ON的中点到直线的距离等于ON长度的一半，

∴以ON为直径的圆与相切。

（3）过点M作MH⊥NP交NP于点H，则，

又∵y1=kx1，y2=kx2，∴（y2－y1)2=k2(x2－x1)2。∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2。

又∵点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上，

∴，即x2－4kx－4=0，∴x2＋x1=4k，x2·x1=－4。

∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2=(1+k2)[ (x2＋xl)2－4x2·xl] =16(1+k2)2。∴MN=4(1+k2)。

延长NP交于点Q，过点M作MS⊥交于点S，

则MS＋NQ=y1＋2＋y2＋2=

    ∴MS+NQ=MN，即M、N两点到距离之和等于线段MN的长。

（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式。

（2）要证以ON为直径的圆与直线相切，只要证ON的中点到直线的距离等于ON长的一半即可。

（3）运用一元二次方程根与系数的关系，求出MN和M、N两点到直线的距离之和，相比较即可。