Question

问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m＋n)个点作为顶

点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？

问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：

探究一：以△ABC的3个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互

不重叠的小三角形？如图①，显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形．

探究二：以△ABC的3个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把△ABC分割成多少个

互不重叠的小三角形？

在探究一的基础上，我们可看作在图①△ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种

情况：

一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q在△PAC的内部，如图②；

另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上．不妨设点Q在PA上，如图③．

显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个互不重叠的小三角形．

探究三：以△ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点，可把△ABC分割成      个

互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图．

探究四：以△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共(m＋3)个点为顶点，可把△ABC分割成        个

互不重叠的小三角形．

探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共(m＋4)个点为顶点，可把四边形分割成

        个互不重叠的小三角形．

问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m＋n)个点作为顶点，可把原n边形分割成

        个互不重叠的小三角形．

实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互

不重叠的小三角形？(要求列式计算)

Answer

探究三： 7，分割示意图见解析；探究四：2m+1；探究拓展：2m＋2；问题解决： 2m＋n－2；实际应用：4030

【解析】【解析】
探究三： 7。分割示意图如下（答案不唯一）：

探究四：三角形内部1个点时，共分割成3部分，3=3+2（1－1），

三角形内部2个点时，共分割成5部分，5=3+2（2-1），

三角形内部3个点时，共分割成7部分，7=3+2（3-1），

…，

所以，三角形内部有m个点时，共分割成3＋2（m－1）=2m+1部分。

探究拓展：2m＋2。

问题解决： 2m＋n－2。

实际应用：把n=8，m=2012代入上述代数式，得

2m＋n－2=2×2012＋8－2=4024＋8－2=4030。

探究三：分三角形内部三点共线与不共线两种情况作出分割示意图，查出分成的部分即可。

探究四：根据前三个探究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，根据此规律写出（m+3）个点分割的部分数即可。

探究拓展：类似于三角形的推理写出规律整理即可得解。

问题解决：根据规律，把相应的点数换成m、n整理即可得解。

实际应用：把公式中的相应的字母，换成具体的数据，然后计算即可得解。