Question

如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，0)、B(1，0)、C(－2，6)．

(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；

(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;

(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？

 请说明理由．

Answer

【解析】
（1）∵抛物线经过A(－4，0)、B(1，0)，∴设函数解析式为：y=a（x＋4）（x－1）。

又∵由抛物线经过C（－2，6），∴6=a（－2＋4）（－2－1），解得： a=－1。

      ∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=－（x＋4）（x－1），即y=－x2－3x＋4。

（2）证明：设直线BC的函数解析式为y=kx+b，

由题意得： ，解得：。

∴直线BC的解析式为y=－2x+2．

∴点E的坐标为（0，2）。

∴。

∴AE=CE。

（3）相似。理由如下：

设直线AD的解析式为y=k1x+b1，则 ，解得：。

∴直线AD的解析式为y=x+4。

联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，解得：。

∴点F的坐标为（ ）。

则。

又∵AB=5，，

∴。∴。

又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA。

∴以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似。

【解析】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定。

【分析】（1）利用待定系数法求解即可得出抛物线的解析式。

（2）求出直线BC的函数解析式，从而得出点E的坐标，然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论。

（3）求出AD的函数解析式，然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标，根据勾股定理分别求出BF，BC 得出；由题意得∠ABF=∠CBA， 即可作出判断。