Question

如图，二次函数y=（x﹣2）²+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．

（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）²+m的x的取值范围．

Answer

【解析】
（1）将点A（1，0）代入y=（x﹣2）2+m得，（1﹣2）2+m=0，解得m=﹣1。

∴二次函数解析式为y=（x﹣2）2﹣1。

当x=0时，y=4﹣1=3，∴C点坐标为（0，3）。

∵二次函数y=（x﹣2）2﹣1的对称轴为x=2， C和B关于对称轴对称，

∴B点坐标为（4，3）。

将A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b得，

，解得。

∴一次函数解析式为y=x﹣1。

（2）∵A、B坐标为（1，0），（4，3），

∴当kx+b≥（x﹣2）2+m时，直线y=x﹣1的图象在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上方或相交，此时1≤x≤4。

【解析】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，函数图象与不等式（组）。

【分析】（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m求出m的值，根据点的对称性，将y=3代入二次函数解析式求出B的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式。

（2）根据图象和A、B的交点坐标可直接求出kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围。