Question

观察下列等式：

12×231=132×21，

13×341=143×31，

23×352=253×32，

34×473=374×43，

62×286=682×26，

…

以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．

（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：

①52×　   　=　    　×25；

②　　×396=693×　　．

（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．

Answer

【解析】
（1）①275；572。

②63；36。

（2）“数字对称等式”一般规律的式子为：

（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）。证明如下：

∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，

∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，

右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，

∴左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=（10a+b）（100b+10a+10b+a）

=（10a+b）（110b+11a）=11（10a+b）（10b+a），

右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）=（100a+10a+10b+b）（10b+a）

=（110a+11b）（10b+a）=11（10a+b）（10b+a），

∴左边=右边。

∴“数字对称等式”一般规律的式子为：

（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）。

【解析】分类归纳（数字的变化类），代数式的计算和证明。

【分析】（1）观察规律，左边，两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即可：

①∵5+2=7，∴左边的三位数是275，右边的三位数是572。∴52×275=572×25。

②∵左边的三位数是396，∴左边的两位数是63，右边的两位数是36。∴63×369=693×36。

（2）按照（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行证明即可。