Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P. 求证：

（1）D是BC的中点；

（2）△BEC ∽△ADC；

（3）AB× CE=2DP×AD．

Answer

证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC。

∵AB=AC，∴D是BC的中点。

（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=90°，即∠CEB=∠CDA=90°，

∵∠C是公共角，∴△BEC∽△ADC。

（3）∵△BEC∽△ADC，∴∠CBE=∠CAD。

∵AB=AC，AD=CD，∴∠BAD=∠CAD。∴∠BAD=∠CBE。

∵∠ADB=∠BEC=90°，∴△ABD∽△BCE。

∴。∴。

∵BC=2BD，∴，即。

∵∠BDP=∠BEC=90°，∠PBD=∠CBE，∴△BPD∽△BCE。∴。

∴，即AB•CE=2DP•AD。

【解析】圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）由AB是⊙O的直径，可得AD⊥BC，又由AB=AC，由三线合一，即可证得D是BC的中点。

（2）由AB是⊙O的直径，∠AEB=∠ADB=90°，又由∠C是公共角，即可证得△BEC∽△ADC。

（3）易证得△ABD∽△BCE与△BPD∽△BCE，根据相似三角形的对应边成比例与BC=2BD，即可证得AB•CE=2DP•AD。