Question

已知二次函数图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x₁，0）、

B（x₂，0），x₁﹤0﹤x₂，与y轴交于点C，O为坐标原点，．

（1）求证： ；

（2）求m、n的值；

（3）当p﹥0且二次函数图象与直线仅有一个交点时，求二次函数的最大值．

Answer

（1）证明：∵二次函数图象的顶点横坐标是2，

∴抛物线的对称轴为x=2，即，化简得：n+4m=0。

（2）【解析】
∵二次函数与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，

∴OA=－x1，OB=x2；。

令x=0，得y=p，∴C（0，p），∴OC=|p|。

由三角函数定义得：。

∵tan∠CAO－tan∠CBO=1，即 ，化简得：。

将 代入得：，化简得：。

由（1）知n+4m=0，

∴当n=1时，；当n=－1时，。

∴m、n的值为： ，n=－1（此时抛物线开口向上）或 ，n=1（此时抛物线开口向下）。

（3）【解析】
由（2）知，当p＞0时，n=1， ，

∴抛物线解析式为：。

联立抛物线与直线y=x+3解析式得到：，

化简得： 。

∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点，

∴一元二次方程＊根的判别式等于0，即△=02+16（p－3）=0，解得p=3。

∴抛物线解析式为：。

当x=2时，二次函数有最大值，最大值为4。

∴当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，二次函数的最大值为4。

【解析】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，锐角三角函数定义，二次函数的性质。

【分析】（1）由题意可知抛物线的对称轴为x=2，利用对称轴公式，化简即得n+4m=0。

（2）利用三角函数定义和抛物线与x轴交点坐标性质求解．特别需要注意的是抛物线的开口方向未定，所以所求m、n的值将有两组。

（3）利用一元二次方程的判别式等于0求解．当p＞0时，m、n的值随之确定；将抛物线的解析式与直线的解析式联立，得到一个一元二次方程；由交点唯一可知，此一元二次方程的判别式等于0，据此求出p的值，从而确定了抛物线的解析式；最后由抛物线的解析式确定其最大值。