Question

如图，已知点O为Rt△ABC斜边上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D ,连接AE.(1)求证：AE平分∠CAB;

(2)探求图中∠1与∠C的数量关系，并求当AE=EC时tanC的值.

Answer

(1)证明见解析(2) 2∠1+∠C=90°，tanC=

【解析】证明：连接OE，

∵⊙O与BC相切于点E，

∴OE⊥BC，

∵AB⊥BC，

∴AB∥OE，

∴∠2=∠AEO，

∵OA=OE，

∴∠1=∠AEO，

∴∠1=∠2，即AE平分∠CAB；

（2）【解析】
∵∠EOC是△AOE的外角，

∴∠1+∠AEO=∠EOC，

∵∠1=∠AEO，∠OEC=90°，

∴2∠1+∠C=90°，

当AE=CE时，∠1=∠C，

∵2∠1+∠C=90

∴3∠C=90°，∠C=30°

∴tanC=tan30°=

（1）连接OE，则OE⊥BC，由于AB⊥BC，故可得出AB∥OE，进而可得出∠2=∠AEO，由于OA=OE，故∠1=∠AEO，进而可得出∠1=∠2；

（2）由三角形外角的性质可知∠1+∠AEO=∠EOC，，因为∠1=∠AEO，∠OEC=90°，所以2∠1+∠C=90°；当AE=CE时，∠1=∠C，再根据2∠1+∠C=90°即可得出∠C的度数，由特殊角的三角函数值得出tanC即可．