Question

如图，在平面直角坐标系O中，梯形AOBC的边OB在轴的正半轴上，AC//OB,BC⊥OB,过点A的双曲线的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D,交边BC于点E.

（1）填空：双曲线的另一支在第           象限，的取值范围是         ；

（2）若点C的坐标为（2,2），当点E 在什么位置时，阴影部分面积S最小？

（3）若，S_△OAC=2 ，求双曲线的解析式.

Answer

（1）三，k＞0，（2）在BC的中点（3）y＝

【解析】（1）三，k＞0，

（2）∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，

而点C的坐标标为（2，2），

∴A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），

把y=2代入y=得x=；把x=2代入y=得y=

∴A点的坐标为（，2），E点的坐标为（2，），

∴S阴影部分=S△ACE+S△OBE=×（2-）×（2-）+×2×=k2-k+2=（k-2）2+1.5

当k-2=0，即k=2时，S阴影部分最小，最小值为1.5；

∴E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点，

∴当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小；

（3）设D点坐标为（a，），

∵OD：OC=1：2，

∴OD=DC，即D点为OC的中点，

∴C点坐标为（2a，），

∴A点的纵坐标为，

把y=代入y=得x=，

∴A点坐标为（，），

∵S△OAC=2，

∴×（2a-）×=2，

∴k=。

∴双曲线的解析式y＝。

当k＞0时，反比例函数y=k/x （k≠0）的图象分布在第一、三象限；点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；运用梯形的性质得到平行线段，从而找到点的坐标特点