Question

如图，在平面直角坐标系O中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=.

（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；

（2）连接AQ并延长交轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值.

（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？

Answer

（1）（8，4），0＜t＜4（2）不变化，S=32（3）6-2

【解析】（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，

在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC===4，

∴OC=OP+PC=4+4=8，

又∵矩形AOCD，A（0，4），∴D（8，4）．

点P到达终点所需时间为8÷2=4秒，点Q到达终点所需时间为4÷1=4秒，由题意可知，t的取值范围为：0＜t＜4。

（2）结论：△AEF的面积S不变化．

∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC，

∴=，即=，解得CE=。

由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4-t，则CF=CD+DF=8-t．

S=S梯形AOCF+S△FCE-S△AOE

=（OA+CF）•OC+CF•CE-OA•OE

=[4+（8-t）]×8+（8-t）•-×4×（8+）

化简得：S=32为定值．

所以△AEF的面积S不变化，S=32．

（3）若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQ∥AF．

由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF，

∴CP：AD=CQ：DF，即8-2t：8= t：4-t，化简得t2-12t+16=0，

解得：t1=6+2，t2=，

由（1）可知，0＜t＜4，∴t1=6+2不符合题意，舍去．

∴当t=6-2秒时，四边形APQF是梯形

（1）由勾股定理求得PC的长，从而求得OC的长，即可求得D的坐标，由点P到达终点所需时间和点Q到达终点所需时间即可求得t的取值范围

（2）通过S=S梯形AOCF+S△FCE-S△AO求得结论

（3）若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQ∥AF，可得△CPQ∽△DAF通过相似比求解，