Question

(1)如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=∠ABC(0°＜∠CBE＜∠ABC)。以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC，得到△BE’A（点C与点A重合，点E到点E’处），连接DE’。求证：DE’=DE.

（2）如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点，

且满足∠DBE=∠ABC(0°＜∠CBE＜45°).求证：DE²=AD²+EC².

Answer

证明：（1）∵△BE’A是△BEC按逆时针方向旋转∠ABC得到，

                   ∴BE’=BE，∠E’BA=∠EBC。

                   ∵∠DBE=∠ABC，∴∠ABD＋∠EBC =∠ABC。

                   ∴∠ABD＋∠E’BA =∠ABC，即∠E’BD=∠ABC。∴∠E’BD=∠DBE。

                   在△E’BD和△EBD中，∵BE’=BE，∠E’BD=∠DBE，BD=BD，

                   ∴△E’BD≌△EBD（SAS）。∴DE’=DE。

（2）以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC=90°，得到△BE’A（点C与点A重合，点E到点E’处），连接DE’。

     由（1）知DE’=DE。

     由旋转的性质，知E’A=EC，∠E’ AB=∠ECB。

     又∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠ACB=45°。

     ∴∠E’ AD=∠E’ AB＋∠BAC=90°。

     在Rt△DE’A中，DE’2=AD2+E’A2，∴DE2=AD2+EC2。

【解析】旋转的性质，等腰（直角）三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】（1）由旋转的性质易得BE’=BE，∠E’BA=∠EBC，由已知∠DBE=∠ABC经等量代换可得

∠E’BD=∠DBE，从而可由SAS得△E’BD≌△EBD，得到DE’=DE。

（2）由（1）的启示，作如（1）的辅助图形，即可得到直角三角形DE’A，根据勾股定理即可证得结论。