Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线l₁:y=x与直线l₂：y=－x+6相交于点M，直线l₂与x轴相较于点N.

求M，N的坐标；

在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个

单位长度的速度移动.设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S.移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）。直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）；

在（2）的条件下，当t为何值时，S的值最大？并求出最大值.

Answer

【解析】
（1）解得。∴M的坐标为（4，2）。

                 在y=－x+6中令y=0得x=6，∴N的坐标为（6，0）。

            （2）S与自变量t之间的函数关系式为：

            （3）当0≤t≤1时，S的最大值为，此时t=1。

                 当1＜t≤4时，S的最大值为，此时t=4。

                 当4＜t≤5时，∵，

∴S的最大值为，此时t=。

                 当5＜t≤6时，S随t的增大而减小，最大值不超过。

                 当6＜t≤7时，S随t的增大而减小，最大值不超过。

                 综上所述，当t=时，S的值最大，最大值为。

【解析】一次函数综合题，平移问题，直线上点的坐标与方程的关系，一次函数和二次函数的最值。

【分析】（1）联立两直线方程即可求得M的坐标，在y=－x+6中令y=0即可求得N的坐标。

（2）先求各关键位置，自变量t的情况：

起始位置时，t=0；当点A与点O重合时，如图1，t=1；当点C与点M重合时，如图2，t=4；当点D与点M重合时，如图3，t=5；当点B与点N重合时，如图4，t=6；结束位置时，点A与点N重合，t=7。

①当0≤t≤1时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一三角形面积（不含t=0），三角形的底为t，高为，∴。

②当1＜t≤4时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一梯形面积，梯形的上底为，下底为，高为1。∴。

③当4＜t≤5时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为两梯形面积的和，第一个梯形的上底为，下底为2，高为；第二个梯形的上底为－t +6，下底为2，高为。

∴。

④当5＜t≤6时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一梯形面积，梯形的上底为

6－t ，下底为7－t，高为1。∴。

⑤当6＜t≤7时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一三角形面积（不含t=7），三角形的底为7－t，高为7－t，∴。

（3）分别讨论各分段函数的最大值而得所求。